Как бороться с этой проблемой и откуда у неё ноги растут?

Итак, вы столкнулись с этой проблемой. Но у вас и места на диске хватает, и своп пустой, и памяти навалом (как у меня). Но проблема есть. И это правильно :)

Проблема в pecl-apc.

Workaround - в apc.ini (или напрямую в php.ini) подставьте apc.mmap_file_mask=/dev/zero. Либо downgrade, ничего не поделаешь.